Euklidov prozor

Razvoj fizike neprekidno potvrđuje da je geometrija moćan konceptualni okvir kojim se opisuje i shvata kosmos. U knjizi Euklidov prozor Leonard Mlodinov priča uzbudljivu priču o geometriji od antičkih dana do savremene teorije struna koja nas ostavlja bez daha. Vjerovatno nema boljeg načina da se pripremimo za naučne proboje koje donosi budućnost nego da ovladamo jezikom geometrije. Svakome ko pročita Euklidov prozor to će biti lako i prijatno. Brajan Grin, autor knjige Elegantni kosmos Mlodinov vodi čitaoca na očaravajuće putovanje kroz istoriju geometrije, od drijevnih vremena do najnovijih nastojanja da se postavi teorija struna. Knjiga je napisana razložno i duhovito. Edvard Viten, dobitnik Fildsove nagrade Koliko ste puta bili u prilici da držite u rukama knjigu o matematici – o matematici – koju ne možete da ostavite? Evo jedne takve. Uzbudljiva poput trilera, duhovita poput komedije, ljupka poput ljubavne priče – Mlodinovljeva knjiga obrazac je kako treba pisati o nauci. Majkl Gilen, autor knjige Pet jednačina koje su promenile svijet Euklidov prozor veoma je dobar uvod u geometriju, od Euklida do Ajnštajna. Poučno i zabavno. Amir Acel, autor knjige Fermaova poslednja teorema Uzbudljiva knjiga koja slavi geometriju kao jedno od blistavih sunaca matematike. Takođe važna knjiga zato što je to sunce predugo bilo prekriveno gustim oblacima. Konačno, šarmantna knjiga koja pojačava zračenje predmeta kojim se bavi, te tako grije duh dok ga podučava. Dejvid Berlinski, autor knjige Putovanje kalkulusa ODLOMAK VOD Pre dvadeset četiri stoleća jedan Grk stajao je na obali mora i posmatrao brodove kako nestaju u daljini. Aristotel mora da je proveo mnogo vremena na tom mestu, u tišini gledajući brojna plovila, pre nego što mu je konačno sinula neobična pomisao. Brodovima se najpre gubio trup, pa jarboli i jedra. Zapitao se kako je to moguće. Na ravnoj Zemlji brodovi bi trebalo ravnomerno da se smanjuju, sve dok na kraju od njih ne ostane samo tačkica. Okolnost da najpre nestaje trup, pa tek onda jarboli i jedra, shvatio je Aristotel u trenutku blistavog prosvetljenja, predstavlja dokaz da je Zemlja okrugla. Do uviđanja oblika naše planete u velikim razmerama Aristotel je došao tako što je pogledao kroz prozor geometrije. Danas istražujemo kosmos kao što smo pre više milenijuma istraživali Zemlju. Nekolicina ljudi stigla je do Meseca. Brodovi bez posade domašili su granice Sunčevog sistema. Sasvim je moguće da ćemo u ovom milenijumu dosegnuti do najbliže zvezde. To putovanje potrajalo bi pedesetak godina brzinom od jedne desetine svetlosne, koju bismo verovatno mogli da postignemo jednoga dana. Ako kao jedinicu mere uzmemo udaljenost do Alfe Kentaura, onda nas od granica kosmosa deli više milijardi ovih aršina. Nije verovatno da ćemo ikada biti u stanju da posmatramo neki brod kako se približava obzorju kosmosa, kao što je to Aristotel činio na Zemlji. No, baš kao i Aristotel, razabrali smo mnogo toga o prirodi i ustrojstvu sveta tako što smo posmatrali, primenjivali logiku i veoma dugo gledali u kosmos. Stolećima su nam geniji i geometrija pomagali da proniknemo pogledom dalje od obzorja. Šta možete reći o kosmosu? Kako znate gde ste? Može li prostor biti zakrivljen? Koliko ima dimenzija? Kako geometrija objašnjava prirodni poredak i jedinstvo kosmosa? Ovo su pitanja koja su stajala iza pet geometrijskih revolucija u istoriji sveta. One su počele jednom Pitagorinom domišljatom dosetkom: primeniti matematiku kao apstraktan sistem pravila kojim se može sazdati model fizičkog sveta. Potom je usledilo viđenje prostora nezavisno od tla po kome gazimo i vode u kojoj plivamo. Bilo je to rođenje apstrakcije i dokaza. Uskoro su Grci postali kadri da dođu do geometrijskih odgovora na svako naučno pitanje, od teorije poluge do orbita nebeskih tela. Ali grčka civilizacija ustupila je mesto rimskoj, koja je zavladala zapadnim svetom. Dan uoči Uskrsa 415. godine, neuka rulja skinula je s kočija i ubila jednu ženu. Ova naučnica, posvećena geometriji, Pitagori i racionalnom razmišljanju, bila je poslednja slavna osoba koja je radila u Aleksandrijskoj biblioteci pre no što je civilizacija utonula u hiljadugodišnje mračno doba. S preporodom civilizacije preporodila se i geometrija, ali bila je to nova vrsta geometrije. Njen osnivač bio je veoma civilizovan čovek – voleo je da se kocka, budio bi se tek iza podneva, a i kritikovao je Grke zato što je smatrao da je njihov metod geometrijskog dokaza odveć zahtevan. Da bi sebe poštedeo suvišnih mentalnih napora, Rene Dekart venčao je geometriju i broj. Na osnovu njegove zamisli o koordinatama, postalo je moguće manipulisati mestom i oblikom kao nikada ranije, a broj se mogao geometrijski predočiti. Ove tehnike omogućile su nastanak matematičke analize i razvoj moderne tehnologije. Geometrijski pojmovi kao što su koordinate i grafikoni, sinusi i kosinusi, vektori i tenzori, uglovi i krive pojavljuju se, zahvaljujući Dekartu, u svakom kontekstu fizike, od elektronike do sklopa prostorvremena u velikim razmerama, od tehnologije tranzistora i kompjutera do lasera i kosmičkih putovanja. Ali Dekartov rad takođe je omogućio jednu apstraktniju – i revolucionarniju – zamisao, zamisao o zakrivljenom prostoru. Da li je zbir uglova u svakom trouglu stvarno 180 stepeni, ili to važi jedino ako je trougao nacrtan na ravnom komadu hartije? Ovde nije posredi puki origami. Matematika zakrivljenog prostora dovela je do revolucije u logičkim temeljima ne samo geometrije već svekolike nauke. Ona je omogućila i Ajnštajnovu teoriju relativnosti. Ajnštajnova geometrijska teorija pros tora i dodatne dimenzije vremena, kao i odnosa prostorvremena prema materiji i energiji, predstavljala je paradigmu promene reda veličine kakva nije viđena još od Njutna. Nesumnjivo je izgledala korenita. Ali to nije bilo ništa u poređenju s najnovijom revolucijom. Jednog junskog dana 1984, jedan naučnik objavio je da je postavio teoriju koja će objasniti sve, od toga zašto subatomske čestice postoje i kako stupaju u međudejstvo, do sklopa prostorvremena u velikim razmerama i prirode crnih rupa. Taj čovek je smatrao da ključ razumevanja jedinstva i poretka sveta leži u geometriji – geometriji nove i prilično bizarne prirode. S govornice su ga uklonili muškarci u belim mantilima. Ispostavilo se da je sve namešteno. Ali sentiment i genije bili su pravi. Džon Švarc radio je deceniju i po na teoriji nazvanoj teorija struna, na koju je većina fizičara reagovala isto kao što bi reagovala da im neki neznanac ludačkog izraza lica zatraži novac na ulici. Danas, međutim, većina fizičara smatra da je teorija struna ispravna: geometrija kosmosa odgovorna je za fizičke zakone koji upravljaju onim što postoji u njemu. Manifest ove plodonosne revolucije u geometriji napisao je tajanstveni čovek po imenu Euklid. Ako niste mnogo upamtili iz tog pogubnog predmeta zvanog euklidovska geometrija, to je verovatno stoga što ste spavali na časovima. Mladi um koji geometriju sagledava onako kako se ona obično predaje potpuno će se odvratiti od nje. Euklidovska geometrija veoma je, međutim, uzbudljiva, a Euklidovo delo odlikuje se lepotom ravnom onoj iz Biblije, dok su mu ideje korenite poput Marksovih i Engelsovih. Svojom knjigom Elementi Euklid je otvorio prozor kroz koji se ukazala priroda našeg sveta. A pošto je njegova geometrija prošla kroz još četiri revolucije, naučnici i matematičari uzdrmali su teološka verovanja, poljuljali su omiljene poglede na svet filozofa i nagnali nas da preispitamo i „prezamislimo“ naše mesto u kosmosu. Te revolucije, kao i proroci i priče što stoje iza njih, predmet su ove knjige. PRIČA O EUKLIDU Šta možeš da kažeš o prostoru? Kako je geometrija počela opisivanjem sveta i najavila modernu civilizaciju. 1. Prva revolucija EUKLID je bio čovek koji po svoj prilici nije otkrio nijedan značajan geometrijski zakon. No on je najznamenitiji geometar svih vremena – i to nipošto ne bez razloga: hiljadama godina, ljudi koji su želeli da vide geometriju najpre su gledali kroz njegov prozor. Danas se on smatra junakom prve velike revolucije u poimanju prostora – začetnikom apstrakcije i dokaza. Pojam prostora proistekao je, sasvim prirodno, iz pojma mesta, našeg mesta, zemlje. Nikao je iz razvoja onoga što su Egipćani i Vavilonjani nazivali „merenje zemlje“. Grčka reč za to jeste geometrija, ali ovo uopšte nisu iste stvari. Grci su prvi shvatili da se priroda može shvatiti primenom matematike – da geometrija može da posluži za otkrivanje, ne samo opisivanje. Razvijajući geometriju iz jednostavnih opisa kamena i peska, Grci su došli do ideala tačke, prave i ravni. Uklonivši s materije ono što je nebitno, otkrili su sklop koji se odlikovao lepotom ranije neviđenom u civilizaciji. Na vrhuncu ovih nastojanja da se zasnuje matematika stoji Euklid. Priča o Euklidu priča je o revoluciji. To je priča o aksiomu, teoremi, dokazu, priča o rođenju samog razuma. 2. Geometrija procenjivanja GRČKA POSTIGNUĆA vuku koren iz nasleđa drevnih civilizacija Vavilona i Egipta. Jejts je pisao o ravnodušnosti Vavilonjana, i upravo ih je ta osobina osujetila da ostvare velika dela u matematici. Ljudi su i pre Grka otkrili mnoge domišljate formule, trikove koji su im olakšavali računanje i gradnju, ali, poput nekih naših političkih vođa, uglavnom su uspevali da postignu izvanredne rezultate pri tom uopšte ne shvatajući kako. No to im nije ni bilo važno. Bili su neimari koji rade u mraku, naslepo, pipajući; podigli bi neko zdanje, popločali neki put, ostvarujući naume bez razumevanja. Ni oni nisu bili prvi. Znatno pre no što su događaji počeli da se beleže, ljudska bića računala su i proračunavala, procenjivala, međusobno se varala. Neka navodna pomagala u računanju, stara 30.000 godina, možda su samo štapovi koje su ukrasili umetnici s intuitivnim matematičkim sklonostima. Ali ima i onih koja se ističu. Na obalama Edvardovog jezera, u današnjoj Demokratskoj republici Kongo, arheolozi su iskopali malu kost, staru 8.000 godina, s komadićem kvarca uglavljenim u usek na jednom kraju. Tvorac ovog artefakta – umetnik ili matematičar, to nikada nećemo doznati – načinio je tri reda ureza s jedne strane kosti. Naučnici smatraju da je ova kost – nazvana „kost Išango“ – po svoj prilici najstariji primerak pomagala za beleženje brojeva. Zamisao o obavljanju operacija brojevima dugo je nastajala, zato što aritmetičke radnje zahtevaju određeni stepen apstrakcije. Antropolozi su nas poučili sledećem: kod mnogih plemena, kada dva lovca odapnu dve strele i pogode dve gazele koje potom dva nosača odnesu u selo, reč koja označava „dva“ svaki put će biti drugačija. U ovim zajednicama stvarno se ne mogu sabirati babe i žabe. Kako izgleda, ljudima su bile potrebne hiljade godina da shvate da su svi ovi slučajevi zapravo isti: slučajevi apstraktnog broja 2. Prvi značajni koraci u ovom pravcu preduzeti su u šestom milenijumu pre nove ere, kada su žitelji doline Nila počeli da napuštaju nomadski način života i da se posvećuju obrađivanju zemlje. Pustinje severne Afrike spadaju među najsuvlja i najgoletnija mesta na svetu. Jedino je Nil, nabujao od polutarnih kiša i otopljenog snega iz abisinijskog gorja, mogao, poput nekog boga, da oživi pustinju. U drevnim vremenima, sredinom juna svake godine, dolina Nila, suva, pustošna i prašnjava, iskusila bi kako reka navire i raste, valjajući se koritom i raznoseći plodno blato unaokolo. Znatno pre no što je Herodot, pisac klasične Grčke, opisao Egipat kao „dar Nila“, Ramzes III ostavio je izveštaj o tome kako su se Egipćani klanjali bogu Nilu, zvanom Hapi, prinoseći mu na dar med, vino, zlato, tirkiz – sve što su cenili. Čak i reč „Egipat“ znači „crna zemlja“ na koptskom jeziku. Plavljenje doline potrajalo bi četiri meseca svake godine. U oktobru bi reka počela da se povlači i smanjuje sve dok do narednog leta zemlja ne bi ponovo postala spečena. Osam sušnih meseci delili su se na dva razdoblja, perit ili doba uzgajanja i šemu ili doba žetve. Egipćani su počeli da osnivaju naseobine na uzvišenjima, koja su se, kada bi reka nadošla, pretvarala u ostrvca povezana prelazima. Izgradili su sistem navodnjavanja i skladištenja useva. Poljoprivredni život postao je osnova egipatskog kalendara i egipatskog života, a hleb i pivo glavni predmeti trgovine. Oko 3.500. godine pre nove ere Egipćani su ovladali osnovnim industrijskim veštinama, kao što su razni zanati i obrada metala. Nekako u to vreme pojavilo se i pismo. Kult smrti uvek je bio blizak Egipćanima, ali sada, s uvećanjem bogatstva i osnivanjem naselja, pojavili su se i porezi. Porezi su bili veoma značajni za razvoj geometrije, jer iako je faraon, u teoriji, bio vlasnik svekolike zemlje i svega na njoj, hramovi, pa čak i obični ljudi, raspolagali su posedima. Uprava je procenjivala porez na zemlju na osnovu toga koliko bi reka nadošla, kao i kolika je bila površina imanja. Onima koji bi odbili da plate moglo se dogoditi da ih batinama prizovu pameti na licu mesta. Uzimanje zajmova bilo je moguće, ali kamata se zasnivala na filozofiji „što jednostavnije“: sto odsto godišnje. Kako je mnogo zavisilo od toga, Egipćani su usavršili prilično pouzdan, premda mukotrpan način izračunavanja površine kvadrata, pravougaonika i trapezoida. Površinu kruga približno su određivali preko površine kvadrata s osnovicom jednakom osam devetina prečnika. Ovo je značilo da je vrednost broja ? iznosila 256/81, odnosno 3,16, što je više od stvarne vrednosti, ali za samo 0,6 odsto. Nije ostalo zabeleženo da li su poreski obveznici gunđali zbog ovog odstupanja. Egipćani su usavršili upečatljive vidove primene svog matematičkog znanja. Zamislite vetrometnu, goletnu pus tinju iz 2.580. godine pre nove ere. Neimar je na papirusu nacrtao plan zdanja koje ste mu naručili. Pred njim je stajao jednostavan graditeljski zadatak: osnova je trebalo da bude kvadratna, a pročelja trouglasta. Postojale su još dve sitnice: zdanje je moralo da bude visoko oko 146 metara i da se sastoji od kamenih blokova od kojih je svaki težio preko dve tone. Vaš zadatak bio je da nadgledate gradnju. Nažalost, niste mogli da računate na pomoć lasera i savremenih geometarskih instrumenata. Sve čime ste raspolagali bilo je nešto drveta i kanapa. Kao što mnogi koji su zidali kuće znaju, obeležiti temelje zgrade ili obod neke jednostavne parcele pomoću stolarskog uglomera i metra na izvlačenje uopšte nije lak zadatak. Prilikom podizanja piramide, odstupite li samo stepen od tačne mere, posle mnogo hiljada tona kamenja i mnogo hiljada ljudi-časova, na visini od bezmalo 150 metara, trougaona pročelja zdanja neće se susresti kako valja. Umesto vrha piramide dobićete četiri raštrkana šiljka. Faraoni, kojima su se klanjali kao bogovima i čiji su vojnici odsecali faluse mrtvim neprijateljima samo da bi imali tačan račun o tome koliko su ih pobili, nisu pripadali među ona svemoćna božanstva kojima biste se usudili da pokažete nesavršenu piramidu. Nikakvo čudo onda što se primenjena egipatska geometrija tako dobro razvila. Za geometarske poslove Egipćani su se oslanjali na čoveka koji se nazivao harpedonopta, što u doslovnom prevodu znači „onaj koji razvlači konopac“. Harpedonopti su pomagala tri roba koja su baratala konopcem. Na konopcu su bili vezani čvorovi na tačno određenim razmacima; kada bi se zategao tako da se čvorovi nađu na temenima, dobio bi se trougao sa stranama željene dužine – odnosno uglovima željene veličine. Primera radi, ako biste rastegli konopac sa čvorovima vezanim na 30, 40 i 50 metara, dobili biste prav ugao između strana od 30 i 40 metara. (Reč hipotenuza na grčkom izvorniku znači „rastegnuto spram“.) Metod je bio veoma domišljat – i složeniji nego što možda izgleda. Danas bismo ka zali da su rastezači konopca obrazovali ne duži, nego geodezijske krive duž Zemljine površine. Videćemo da upravo ovaj postupak, premda u imaginarnim, izuzetno malim (tehnički, „infinitezimalnim“) razmerama, danas primenjujemo radi analize lokalnih svojstava prostora na području matematike poznatom kao diferencijalna geometrija. A valjanost Pitagorine teoreme predstavlja potvrdu da je prostor ravan. Dok su Egipćani naseljavali dolinu Nila, na području između Persijskog zaliva i Palestine odigravala se druga urbanizacija. Počela je u Mesopotamiji, između reka Eufrat i Tigar, tokom četvrtog milenijuma pre nove ere. Negde između 2.000. i 1.700. godine pre nove ere nesemitski narod koji je živeo severno od Persijskog zaliva osvojio je svoje južne susede. Pobednički vladar Hamurabi nazvao je celo udruženo kraljevstvo po gradu Vavilonu. Vavilonjanima pripisujemo u zaslugu matematički sistem znatno složeniji od onoga kojim su se koristili Egipćani. Vanzemaljci koji sada posmatraju Zemlju kroz neki superteleskop s udaljenosti od 37.650.000.000.000.000 kilometara u prilici su da vide kako se živelo u Vavilonu i Egiptu. Nama, međutim, sada i ovde, malo je teže da o tome sklopimo slagalicu. Egipatska matematika u načelu nam je poznata iz dva izvora: iz Rindovog papirusa, nazvanog po A. H. Rindu koji ga je poklonio Britanskom muzeju, i Moskovskom papirusu koji se nalazi u Muzeju lepih umetnosti u Moskvi. Ono što smo doznali o Vavilonjanima potiče iz ruševina Ninive, u kojima je pronađeno oko 1.500 pločica. Nažalost, nijedna od njih ne sadrži neki matematički tekst. No, srećom, nekoliko stotina glinenih pločica iskopano je na području Asirije, poglavito u ruševinama Nipura i Kisa. Ako prebiranje po ruševinama uporedimo s traganjem u kakvoj knjižari, onda se može reći da su u ovim prodavnicama knjiga postojali matematički odeljci. Tu su pronađene referentne tabele, udžbenici i štošta drugo što nam je u velikoj meri približilo vavilonjansku matematičku misao. Poznato nam je, na primer, da se vavilonjanski neim ar ne bi oslonio samo na sirovu radnu snagu. Kada bi se, recimo, kopao kanal, uočio bi da je poprečni presek trapezoidan, izračunao bi zapreminu zemlje koju treba ukloniti, uzeo bi u obzir koliko jedan kopač može da iskopa dnevno, pa bi na os-novu svega toga izračunao koliko je ljudi-dana potrebno da bi se posao obavio. Vavilonjanski zajmodavci čak su izračunavali kamatu na kamatu. Vavilonjani nisu pisali jednačine. Svi njihovi proračuni bili su iskazani kao verbalni problemi. Na jednoj pločici, na primer, zapisane su sledeća zagonetka i odgonetka: „Četiri je visina, a pet dijagonala. Kolika je osnovica? To je nepoznato. Četiri puta četiri jeste šesnaest. Pet puta pet jeste dvadeset pet. Oduzmite šesnaest od dvadeset pet i dobićete devet. Koji se broj mora pomnožiti samim sobom da bi se dobilo devet? Tri puta tri je devet. To je vrednost osnovice.“ Danas bismo napisali „x2 = 52 – 42“. Nedostatak retoričkog iskazivanja problema nije toliko ono što je očigledno – nepostojanje svedenosti – već okolnost da se verbalnim izrazima ne može operisati kao jednačinama; pravila algebre, na primer, ne mogu se na njih lako primeniti. Protekle su hiljade godina pre no što je ovaj nedostatak konačno otklonjen: znak plus za sabiranje prvi put se pojavljuje u jednom nemačkom rukopisu iz 1481. Zapis s pomenute pločice pokazuje da su Vavilonjani znali za Pitagorinu teoremu, prema kojoj je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbiru kvadrata nad katetama. Kao što nam to govori dosetka harpedonopte, ovaj odnos bio je poznat i Egipćanima, ali vavilonjanski pisari ispunili su svoje glinene pločice upečatljivim tabelama tripleta brojeva koji ispoljavaju ovo svojstvo. Zabeležili su niske triplete kao što su 3, 4, 5 ili 5, 12, 13, ali i visoke kao 3456, 3367, 4825. Sasvim su mali izgledi da se slučajno pronađu visoki tripleti. Primera radi, među prvih dvanaest brojeva, 1–12, ima na stotine različito uređenih tripleta, ali od svih njih jedino triplet 3, 4, 5 zadovoljava teoremu. Osim ako Vavilonjani nisu uposlili pravu vojsku matematič ara koji ništa drugo nisu radili do tragali za odgovarajućim tripletima, moramo da zaključimo da su bili upućeni bar u elementarnu teoriju brojeva koja im je omogućila da do njih dođu prečicom. Uprkos postignućima Egipćana i domišljatosti Vavilonjana, njihovi doprinosi matematici bili su ograničeni na to da Grcima ostave u nasleđe zbirku konkretnih matematičkih podataka i jednostavnih pravila. Nalikovali su na klasične terenske biologe koji strpljivo katalogizuju vrste, a ne na moderne genetičare koji pokušavaju da shvate način na koji se organizmi razvijaju i dejstvuju. Iako su, na primer, obe civilizacije znale za Pitagorinu teoremu, nijedna nije došla do opšteg pravila koje danas ispisujemo kao a2 + b2 = c2 (gde je c hipotenuza pravouglog trougla, a a i b katete). Kako izgleda, nikada se nisu zapitali zašto ovakav odnos postoji niti kako pomoću njega mogu da dođu do dubljih uvida. Da li je on tačan ili važi samo približno? Načelno govoreći, ovo pitanje je ključno. U čisto praktičnom pogledu je nebitno. Pre antičkih Grka niko nije mnogo mario za to. Razmotrimo jedan problem koji je postao najveća glavobolja u geometriji antičkih Grka, ali nimalo nije onespokojavao Egipćane i Vavilonjane. On je čudesno jednostavan. Ako se uzme kvadrat čija osnovica iznosi jedan (svejedno koju dužinsku jedinicu koristimo), kolika je njegova dijagonala? Vavilonjani su došli do sledećeg rezultata (preračunatog u decimalni brojni sistem): 1,4142129. Vrednost je tačna do trećeg seksagezimalnog mesta (Vavilonjani su koristili šezdeset kao brojnu osnovu). Grci iz Pitagorinog vremena uvideli su da se ovaj broj ne može napisati kao ceo ili razlomak. Danas za ovaj broj kažemo da sadrži beskonačan niz decimala koje se javljaju bez pravila: 1,414213652... Za Grke je ovo bio izvor velike traume, krize religijskih razmera, zbog koje je najmanje jedan učenjak izgubio glavu. Stradati zbog vrednosti kvadratnog korena iz 2? Zašto? Odgovor se krije u samom srcu izuzetnosti Grka.